极值点偏移

定义：对于单个极值的函数，它在极值点左右两侧的增减速度不同，导致函数图像不具备轴对称的特性，这就称为函数的极值点偏移。具体来说，有以下两种情况：

极值点偏移命题过程

极值点偏移与和三阶导数的一点探究
1、极值点左偏的情形：
如:$f(x)=\cfrac{x}{e^x} (x>0)$
一阶导数$g(x)={f}' (x)=\cfrac{1-x}{e^x} $
二阶导数$h(x)={f}'' (x)=\cfrac{x-2}{e^x}$
三阶导数${h}' (x)={f}^{(3)} =\cfrac{3-x}{e^x}$
若$f(x)是凸函数，且{f}' (x_0)=0, \quad {f}'' (x_0)<0,\quad {h}' (x_0)={f}^{(3)}(x_0) >0\Rightarrow$极值点左偏；左快右慢
若$f(x)是凹函数，且{f}' (x_0)=0, \quad {f}'' (x_0)>0,\quad {h}' (x_0)={f}^{(3)}(x_0) <0\Rightarrow$极值点左偏；左快右慢
若$f(x)是凸函数，且{f}' (x_0)=0, \quad {f}'' (x_0)<0\quad {h}' (x_0)={f}^{(3)}(x_0)<0\Rightarrow$极值点右偏；左慢右快
若$f(x)是凹函数，且{f}' (x_0)=0, \quad {f}'' (x_0)>0,\quad {h}' (x_0)={f}^{(3)}(x_0) >0\Rightarrow$极值点右偏；左慢右快
$(1)定极值点；x=x_0(2)构造对称函数；(3)比较大小，F(x)单调性$
极值点偏移命题过程：
本质：一阶导数变化不均匀$\Leftrightarrow$ 二阶导数不为定值$\Leftrightarrow$三阶导数不为0
常规问题：$x_1+x_2>2x_0或x_1x_2>x_0^2,f(\frac{x_1+x_2}{2} )>f(x_0)、{f}' (\frac{x_1+x_2}{2})>0={f}' (x_0)$
$函数：x-\ln x 问题：x_1+x_2>2$
若：$x\to \frac{1}{x}\quad 则题目变成：\frac{1}{x} +lnx\quad 问题：\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}>2或\frac{x_1+x_2}{x_1x_2} >2 \quad or \quad x_1+x_2>2x_1x_2$
函数：$x-\ln x 问题：x_1x_2<1$
若：$x\to xe^x\quad 则题目变成：xe^x -ln(xe^x)即xe^x-x-\ln x\quad 问题：x_1x_2e^{x_1}e^{x_2}<1$
例1、$2022年高考f(x)=\frac{e^x}{x}-\ln x+x-a$
$(1)若f(x)>0,求a$的取值范围;
$(2)证明:若f(x)有两个零点x_1,x_2则x_1x_2<1。$
$f(x)=e^{x-\ln x}+x-\ln x-a$
例2、 已知函数$f(x)=-x+(x+a)\ln x(a\in R)$有两个不同的极值点。[极值点偏移，一个经典方法，讲透一个经典例题_哔哩哔哩_bilibili]
$(1)求实数a的取值范围；$
$(2)当a=2时，已知函数f(x)的图像在A(x_1,f(x_1)),B(x_2,f(x_2))(x_1<x_2)$两个不同的点处的切线互相平行，证明：$x_1+x_2>4。$
解： $(1)x\in (0,+\infty)\quad {f}' (x)=\cfrac{a}{x} +\ln x$
由题意得 ${f}' (x)=0有两个不同实根\Leftrightarrow a=-x\ln x有2个$不同实根。
令$g(x)=-x\ln x,x\in (0,+\infty),{g}' (x)=-\ln x-1=-(\ln x+1)$

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