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9-2题目$f(x)=\cfrac{1}{2} x^2-2x+a\ln x $
${f}' (x)=x-2+\cfrac{a}{x} \quad x\gt 0 \Rightarrow \cfrac{a}{x} =2-x\Rightarrow a=2x-x^2\Rightarrow 0\lt a\lt 1$

9-3题目，参变分离，变号零点转化为变向交点
$f(x)=x\ln x-kx^2-x$
${f}' (x)=\ln x+1-2kx-1$
$令{f}' (x)=0，\Rightarrow \ln x=2kx\Rightarrow 2k=\cfrac{\ln x}{x} 有两个交点，\Rightarrow 0\lt 2k \lt \cfrac{1}{e} $

9-4题目：$f(x)=\cfrac{1}{3} x^3-\cfrac{a^x}{\ln a} $
${f}' (x)=x^2-a^x\quad x\gt 0$
$令{f}' (x)=x^2-a^x=\Rightarrow a^x=x^2两边取e为底的对数，得$
$g(x)\ge g(\cfrac{1}{e})= -\cfrac{1}{e},f(x)=\cfrac{1}{2} g(x^2),$
复合函数$t=x^2满足f(x)$的定义域，因而,复合函数的值域不变。即$f(x)\ge -\cfrac{1}{2e}$
$x\ln a=2\ln x \Rightarrow \cfrac{1}{2} \ln a=\cfrac{\ln x}{x} \Rightarrow 0\lt \cfrac{1}{2} \ln a \lt \cfrac{1}{e} \Rightarrow 1\lt a \lt e^{\frac{2}{e}}$

第5页2-1,求$f(x)=x^2\ln x$的最小值
$f(x)=x^2\ln x＝\cfrac{1}{2}\cdot 2x^2\ln x=x^2\ln x^2 $
$构造g(x)=x\ln x,{g}' (x)=\ln x+1,$
$0\lt x\lt \cfrac{1}{e},{g}' (x)\lt 0,g(x)\searrow ;$
$\cfrac{1}{e}\lt x\lt +\infty ,{g}' (x)\gt 0,g(x)\nearrow$
$g(x)\ge g(\cfrac{1}{e})= -\cfrac{1}{e},f(x)=\cfrac{1}{2} g(x^2),$
复合函数$t=x^2满足f(x)$的定义域，因而,复合函数的值域不变。即$f(x)\ge -\cfrac{1}{2e}$