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6-2、讨论$f(x)=\cfrac{1}{2}x^2-x-\cfrac{ax}{e^x}$
${f}' (x)=x-1-\cfrac{a(e^x-x\cdot e^x)}{e^x\cdot e^x}=\cfrac{(x-1)(e^x+a)}{e^x} $
${\color{Red} 1)} 当{\color{Red} a\ge 0} 时 ,$
$e^x+a\ge 0 $恒成立，导函数的符号仅取决于$(x-1),且x-1是\nearrow $
故当 $\quad x\lt 1,{f}' (x)\lt 0,f(x) \searrow $
当 $\quad x\gt 1,{f}' (x)\gt 0,f(x) \nearrow $
${\color{Red} 2)} 当{\color{Red}a\lt 0 } 时,e^x+a $可正可负，此时导函数的符号由$(x-1)和e^x+a$的两个因式共同决定,我们判断两者正负时，要先判断$1与\ln (-a)$的谁大谁小。因而，还要继续分类讨论之
${\color{Green} ①} 当{\color{Green} a=-e} $时,$x-1与e^x+a$的零点均为1,且两者都是增函数；故有：
$\quad x\in R, {f}' (x)\ge 0,f(x) \nearrow$
${\color{Green} ②} 当 1\lt \ln(-a)\Rightarrow e\lt -a \Rightarrow a\lt -e,故{\color{Green} a\lt -e} $时：
当$\quad x\lt 1 $或$x\gt \ln(-a),{f}' (x)\gt 0,f(x) \nearrow $
当$ \quad 1\lt x \lt \ln(-a),{f}' (x)\lt 0,f(x) \searrow$
${\color{Green} ③} 当{\color{Green} -e\lt a \lt 0 } $时,$ \ln(-a)\lt 1$,故有：
当$x\lt \ln(-a) 或x\gt 1,{f}' (x)\gt 0,f(x) \nearrow $
当$ 1\lt x \lt \ln(-a),{f}' (x)\lt 0,f(x) \searrow $
总结：含参函数单调性讨论；求求导函数，通通分，因式分解；因式分解后，别焦急求因式的零点（根），要先析含参的因式有没有可能恒为正或负情形，先对它讨论，如第一步(1)的$a\ge 0$
第二步，求各因式的零点，要对含的零点与常数比较大小进行分类，如$(2)1与\ln (-a)$，并将各因式调整为 单增函数，从分好类的零点从小到大排列，用穿线法画好图像。题目的②③情形只是交换零点，并没有改变穿线方向。

7、讨论$f(x)=1+(1+a)x-x^2-x^3$的单调性;题型：无法因式分解，应用$\bigtriangleup$
${f}' (x)=-3x^2-2x^2+(1+a), $
${\color{Red} Ⅰ.} 若\bigtriangleup =4+12(1+a)=12a+16\le 0$
即 $a\le-\cfrac{4}{3},{f}' (x)\le 0,f(x)在R\searrow $
${\color{Red} Ⅱ.} 若\bigtriangleup =12a+16\gt 0\quad 即a\gt \cfrac{4}{3}$
令${f}' (x)=0,得x=\cfrac{2\pm \sqrt{12a+16} }{-6} =\cfrac{-1\pm \sqrt{3a+4} }{-3}$
$\therefore f(x)在(-\infty,\cfrac{-1- \sqrt{3a+4} }{-3})\searrow,(\cfrac{-1- \sqrt{3a+4} }{-3},\cfrac{-1+ \sqrt{3a+4} }{-3}),\nearrow;(\cfrac{-1+\sqrt{3a+4} }{-3},+\infty),\searrow$

8-1、讨论$f(x)=x--\cfrac{1}{x}-2a\ln x$的单调性区间（不能因式分解）
${f}' (x)=1+\cfrac{1}{x^2}-\cfrac{2a}{x}\quad (x\gt0 ) $
${\color{Red}1^\circ } 若a\le 0,{f}' (x)\gt 0,f(x)在(0,+\infty)\nearrow$
${\color{Red}2^\circ } 若a\gt 0,{f}' (x)=\cfrac{x^2-2ax+1}{x^2} $
${\color{Green}Ⅰ. }若\bigtriangleup =4a^2-4\le 0,即0\le a\le 1时，$
${f}' (x)\ge 0(备注：此时没变号零点)f(x)在(0,+\infty)\nearrow$
${\color{Green}Ⅱ. } 若\bigtriangleup =4a^2-4\gt0 ,即a\gt 1,令{f}' (x)=0,得x=\cfrac{2a\pm\sqrt{4a^2-4} }{2}=a\pm\sqrt{a^2-1}$
故$f(x)在(0,a-\sqrt {a^2-1})\nearrow;(a-\sqrt {a^2-1},a+\sqrt {a^2-1})\searrow;(a+\sqrt {a^2-1},+\infty)\nearrow.$

8-2、讨论$f(x)=a\ln x+\cfrac{x-1}{x+1} $的单调性；
${f}' (x)=\cfrac{a}{x}+\cfrac{2}{(x+1)^2} (x\gt 0)$
${\color{Red} 1^{\circ } }若a\ge 0,{f}' (x)\gt 0,f(x)在(0,+\infty)\nearrow $
${\color{Red} 2^{\circ } }若a\lt 0,通分，{f}' (x)＝\cfrac{a(x+1)^2+2x}{x(x+1)^2}= \cfrac{ax^2+(2a+2)x+a}{x(x+1)^2};$
设$g(x)=ax^2+(2a+2)x+a$;
${\color{Green}Ⅰ.} 若\bigtriangleup =8a+4\le 0,即a\le -\cfrac{1}{2}时，$
${f}' (x)\le 0,f(x)在(0,+\infty)\searrow;$
${\color{Green} Ⅱ.} 若\bigtriangleup =8a+4\gt 0,即 -\cfrac{1}{2}\lt a\lt 0时，$
设$x_1,x_2为g(x)=0的两根,x_1=\cfrac{-a-1-\sqrt{2a+1}}{a} \lt x_2=\cfrac{-a-1+\sqrt{2a+1}}{a}$
$\begin{cases} x_1+x_2=\cfrac{2a+2}{-a}\gt0 \\x_1x_2=1\gt0\end{cases}\Rightarrow \begin{cases} x_1\gt0\\x_2\gt0\end{cases}$
$\therefore f(x)在(0,x_1)\searrow;,(x_1,x_2)\nearrow,(x_2,+\infty)\searrow $

9、讨论$f(x)=x^3-x\ln x在[1,+\infty)$的单调性，并画出$f(x)$的简图；
$f(x)=x^3-x\ln x\quad(x\ge 1);$
${f}' (x)=3x^2-(\ln x +1)=3x^2-\ln x-1$
令$g(x)={f}' (x)=3x^2-\ln x-1$
${g}' (x)=6x-\cfrac{1}{x}=\cfrac{6x^2-1}{x} \gt0,{g}' (1)=5$
$\therefore g(x)= {f}' (x)在[1,+\infty)\nearrow,又{f}' (1)=2\Rightarrow f'(x)\ge {f}' (1)\gt 0$
$\therefore {f} (x)在[1,+\infty)\nearrow,又{f}(1)=1$

10、讨论$f(x)=e^x\cos x-x在[0,\cfrac{\pi}{2}]$的单调性，并画出f(x)的简图。
$f(x)=e^x\cos x-x,\quad x \in[0,\cfrac{\pi}{2}]$
${f}'(x)=e^x(\cos x-\sin x)-1$
令$g(x)={f}'(x)=e^x(\cos x-\sin x)-1 ；$
${g}' (x)=e^x[(\cos x-\sin x)+(\cos x-\sin x)']=-2\sin xe^x\le 0$
$\therefore {f}' (x)在[0,\cfrac{\pi}{2}]\searrow ,{f}' (0)=0,{f}' (\cfrac{\pi}{2})=-e^{\frac{\pi}{2}}-1\Rightarrow {f}' (x)\le 0$
$\therefore {f} (x)在[0,\cfrac{\pi}{2}]\searrow ,{f}(0)=1,{f} (\cfrac{\pi}{2})=-\cfrac{\pi}{2}$

11、讨论$f(x)=e^x-x^2-1$的单调性，并画出f(x)的简图。
$f(x)=e^x-x^2-1$
${f}' (x)=e^x-2x$
$令g(x)={f}' (x)=e^x-2x$
${g}' (x)=e^x-2 ,\nearrow $
${f}' (x)=g(x)在(-\infty,\ln 2)\searrow ;(\ln 2,+\infty)\nearrow,故{f}' (x)在x=\ln 2$处有极小值；
$即{f}' (x)\ge {f}' (\ln 2)=2-\ln 2 \gt0 $
$f(x) 在R上\nearrow ,且有f(0)=0$

12、讨论$f(x)=e^x\ln x$的单调性，并画出$f(x)$的简图。
${f}' (x)=e^x(\ln x+\cfrac{1}{x} )$
令$g(x)=\ln x +\cfrac{1}{x};{g}' (x)=\cfrac{1}{x}+\cfrac{-1}{x^2}=\cfrac{x-1}{x^2} \nearrow $
$g(x)在(0,1)\searrow,(1,+\infty)\nearrow $
$\therefore g(x)_{min}=g(1)=1\Rightarrow g(x)\gt 0,即{f}' (x)\gt 0$
$\therefore f(x)在(0,+\infty)\nearrow,且f(1)=0$

13、讨论$f(x)=x\ln (x+1)-ax^2(a\lt 0)$的单调性，并画出$f(x)$的简图。
${f}' (x)=\ln (x+1)+\cfrac{x}{x+1} -2ax$
$令g(x)={f}' (x)=\ln (x+1)+\cfrac{x}{x+1} -2ax$
${g}' (x)={f}''(x)=\cfrac{1}{x+1} +\cfrac{x+1-x}{(x+1)^2} -2a\gt 0$
$\therefore g(x)={f}' (x)在(-1,+\infty)\nearrow,且{f}' (0)=0;$
　$即-1\lt x\lt 0,{f}' (x)\lt 0,f(x)\searrow;$
$0\lt x\lt +\infty,{f}' (x)\gt 0,f(x)\nearrow;且有f(0)=0$