导数基础一
2、${f}' (x)=-\cfrac{2}{x^2},{f}' (m)=-\cfrac{1}{2}=-\cfrac{2}{x^2},\therefore m=\pm2$
3、$\lim_{\bigtriangleup x \to 0} \cfrac{f(x+\bigtriangleup x)-f(x)}{\bigtriangleup x}$ 式中$\bigtriangleup x$是一个整体，必须相同，具体是什么符号并不重要。但要$\to 0,还必须 f(x+\bigtriangleup x)$做被减数。故答案为1
4、$\lim_{-x \to 0} \cfrac{[f(1-x)-f(x)]}{ x} \cdot \frac{-1}{2} =-1\Rightarrow {f}' (1)\cdot \frac{-1}{2}=-1 ,{f}' (1)=2$
5、$3\lim_{\bigtriangleup x \to 0} \cfrac{f(x_0+3\bigtriangleup x)-f(x_0)}{ 3\bigtriangleup x} =9$
导数基础二
1、求导数
(1)0, (2)$-\cfrac{5}{x^4}、 (3)y=x^{(2-\frac{1}{2})}=x^{\frac{3}{2}},y'=\frac{3}{2}x^\frac{1}{2}、(4)y'=\frac{1}{x\ln 10}$
$(5)5^x\cdot \ln5、(6)y=\sin x,\quad y'=\cos x$
2、P(1,1)
3、$(1)y=-x+\pi;\quad(2)[0,\frac{\pi}{4}]\cup [\frac{3\pi }{4},\pi)$
4、$y-1= (n+1)(x-1)\quad 令y=0,x_n=\frac{}{}\lg 2020$
导数基础三、
1-1、求下列函数的导数：
(1)${y}' =\frac{2}{x} -2^x \ln 2\quad (2){y}' =3\cos x-\sin x\quad (3){y}' =(1+x)e^x$
$(4){y}' =\cfrac{e^x(x-2)}{x^3}\quad (5)t=1-x,{y}' =5\cdot \frac{1}{t\ln 2}(-1)$
$(6){y}' =3\sin^2 x\cdot \cos x+3\cos 3x$
1-2求下列函数的导数：
$(1){y}' =\cos x+\frac{1}{x} -1\quad (2){y}' =6x+\cos x-x\sin x$
$(3)y'=\cfrac{1-2\ln x}{x^3}\quad (4)y'=\cfrac{-2e^x} {(e^x-1) ^2}$
$(5)y'=10(1-2x^3) ^9 (-6x^2)$
$(6)y'=2\cos x(-3\sin 3x)$
2、前三项括号看作一个整体，前导后不导，${f}' (2023)=6$
3、$\frac{\sqrt 3}{3}$
4、2020
5、3
6、$a=\frac{1}{e},b=1$
7、$y'=2e^{2x}\cdot \cos 3x-3e^{2x}\sin 3x \quad y=2x+6 或y=2x-4$
8、${f}'(x) =-e^x-2\in(-\infty,-2),设l_1的斜率为k_1,\therefore k_1\in (-\infty,-2),$
$设l_2的斜率为k_2,\therefore k_2=-\frac{1}{k_1}\in (-\infty,-2),\in (0,\frac{1}{2})$
${g}'(x) =a-2\sin x\in [a-2,a+2],\begin{cases} a-2\le 0\\a+2\ge \frac{1}{2}\end{cases}\Rightarrow -\frac{3}{2}\le a\le 2$
在点和过点切线问题
1、$(1){f}'(x) =3x^2,{f}'(0) =0,\therefore y=1$
$(2)设切点(m,m^3+1)\quad \therefore {f}' (m)=3m^2\therefore 切线方程y-(m^3+1)=3m^2(x-m)$
将(1,1)代入，$1-(m^3+1)=3m^2(1-m)\Rightarrow 2m^3-3m^2=0\therefore m=0或m=\frac{3}{2}$
切线$y=0,或y-\cfrac{35}{8}=\cfrac{27}{4}(x-\cfrac{3}{2})$
2、$(1)f(2)==2^3-2\cdot 2^2+2=2，点坐标为(2,2)$
${f}'(x)=3x^2-4x+1\therefore {f}'(2)=5$
切线方程为$y-2=5(x-2)$
$(2)设切点(m,m^3-2m^2+m)\quad {f}' (m)=3m^2-4m+1;$
切线方程$y-(m^3-2m^2+m)=(3m^2-4m+1)(x-m)$
将$(0,0)代入,m^3-2m^2+m=(3m^2-4m+1)\cdot m$
$\Rightarrow 2m^3-2m^2=0\Rightarrow 2m^2(m-1)=0\Rightarrow m=0,或 m=1$
当$m=0,切线方程y=x；当m=1,切线方程y=0$
3、带参分析
$y=k(x+e)-1恒过(-e,-1),设切点为(m,\ln m),{y}' =\cfrac{1}{x},{y}'\mid _{x=m} =\cfrac{1}{m},$
$\therefore 切线方程为y-\ln m=\cfrac{1}{m}(x-m)
,将(-e,-1)代入,得-1-\ln m=\cfrac{1}{m}(-e-m)即\ln m=\cfrac{e}{m}\Rightarrow m=e,\Rightarrow k\le \cfrac{1}{e}$
4、带参分析
设切点为$(m,m^3-m^2+am+1),{f}'(x)=3x^2-2x+a ,\therefore {f}'(m)=3m^2-2m+a $
切线方程为$y-(m^3-m^2+am+1)=(3m^2-2m+a )(x-m)$
将$(0,0)代入 -(m^3-m^2+am+1)=-m(3m^2-2m+a )\Rightarrow 2m^3-m^2-1=0$
尝试$m=1$,或配凑法$2m^3-2m^2+m^2-1=0\Rightarrow (m-1)(2m^2+m+1)=0\Rightarrow m=1$
$\therefore$ 切线方程$y-(a+1)=(a+1)(x-1)即y=(a+1)x$
$\begin{cases} y=(a+1)x\\y=x^3-x^2+ax+1\end{cases}\Rightarrow x^3-x^2+ax+1=ax+1\Rightarrow x^3-x^2-x+1=0$
得$(x+1)(x-1)^2=0\quad \therefore x=-1或x=1$
当$x=-1，解得y=-(1+a)$;当$x=1，解得y=1+a。$
公共点为$(-1,-1-a)和(1,1+a)$此题告诉我们，${\color{Red} 曲线的切线与曲线的交点不一定只有一个！}$
原文：
https://one.free.nf/usr/uploads/2025/onefile/derivative01.pdf