1、$f(x)=\cfrac{e^x}{x},{f}' (x)=\cfrac{(x-1)e^x}{x^2},符号函数x-1,x\lt 1,{f}' (x)\lt 0\Rightarrow f(x)\searrow;$
$x\gt1, {f}' (x)\gt 0, f(x)\nearrow ,\therefore {\color{Red} 先减后增，x=1处有极小值f(1)=e }$，有$e^x$有除就有1 又有e;
2、$f(x)=\cfrac{x}{e^x},与(1)是互为倒数$
${f}' (x)=\cfrac{1-x}{e^x} ,符号函数与上相反1-x;x\lt 1,f'(x)\gt 0,f(x)\nearrow ;x\gt 1,f'(x)\lt 0,f(x)\searrow$
${\color{Red} 先增后减,在x=1处有极大值f(1)=\cfrac{1}{e}}$。
总结：(1)(2)函数相互为倒数，(1) 是先减后增，(2)是先增后减；极值点位置不变均在 x=1处，极值互为倒数,(1)是极小(2)极大。
3、$g(x)=\cfrac{x}{\ln x},{g}' (x)=\cfrac{\ln x-1}{\ln^2x}; 0\lt x \lt e，{g}'(x)\lt 0, g(x)\searrow ;$

$x \gt e，{g}'(x)\gt 0, g(x)\nearrow ;g(x)\gt g(x)_{min}=g(e)=e,{\color{Red} 先减后增，x=e处有极小值f(e)=e }$

观察(1)与(3),$g(x)=f(\ln x), 这就是同构；{g}' (x)=\cfrac{1}{x} {f}' (\ln x)$
${g}' (x)=\cfrac{1}{x} {f}' (\ln x)=\cfrac{1}{x} \cfrac{(\ln x-1)e^{\ln x}}{\ln^2 x}=\cfrac{\ln x-1}{\ln^2 x}$
4、$g(x)=\cfrac{\ln x}{ x},{g}' (x)=\cfrac{1-\ln x}{x^2}$,符号函数与上相反；所以增减性相反，极值点位置相同。
5、$f(x)=xe^x;{f}' (x)=(x+1)e^x,符号函数x+1,x\lt -1,{f}' (x)\lt 0,f(x)\searrow;$
$x\gt -1,{f}' (x)\gt 0,f(x)\nearrow, 先减后增，f(x)\ge f(x)_{min}=f(-1)=-\cfrac{1}{e}$
6、$g(x)=f(\ln x)=x\ln x;{g}' (x)=\ln x+1,0\lt x \lt e,{g}' (x)\lt 0,g(x)\searrow$

7、$e^x\ge x+1$

8、$x\ge \ln x+1$