例1、$ae^{x-1}-\ln x+\ln a\ge 1恒成立，求a$取值范围。同构
$ {\color{Green} e^{\ln a}} e^{x-1}+\ln a-1\ge ln x\Leftrightarrow e^{\ln a+x-1}+\ln a {\color{Green} +x} -1\ge ln x+{\color{Green} x}$
$\Leftrightarrow e^{\ln a+x-1}+(\ln a {\color{Green} +x} -1)\ge ln x+{\color{Green} e^{\ln x}}$
构造函数$f(x)=e^x+x,则有f(\ln a+x-1)\ge f(\ln x)$
$\Rightarrow \ln a+x-1\ge ln x\Rightarrow \ln a\ge ln x-x+1$
设$g(x)= ln x-x+1\quad \Leftrightarrow \ln a \ge g(x)_{max}\quad {g}' (x)=\cfrac{1}{x}-1=\cfrac{x-1}{x}$
$g(x)\le g(1)=0 $
$\ln a\ge 0\Rightarrow a\ge1$
例2、若关于$x的不等式\ln x\le ax^2-bx+1(a\ne 0)恒成立，则\cfrac{b}{a}$ 的最大值。
$\ln x\le ax^2-bx+1\Leftrightarrow \cfrac{\ln x}{x} \le ax-b+\cfrac{1}{x} \Leftrightarrow \cfrac{\ln x}{x} -\cfrac{1}{x}\le ax-b$
设$f(x)= \cfrac{\ln x}{x} -\cfrac{1}{x}\qquad g(x)= ax-b\Rightarrow g(x)\ge f(x)$
$\Leftrightarrow 直线在曲线f(x)$的左上方或相切。
${ f}' (x)=\cfrac{-\ln x}{x^2} $
${\color{Red} \cfrac{b}{a}} 是啥？ 令g(x)=ax-b=0\Rightarrow x=\cfrac{b}{a},$即是切线在$x$轴上的截距，也是切线$g(x)$的零点。
分析可知，$\cfrac{b}{a}的最大值，便是f(x)= \cfrac{\ln x}{x} -\cfrac{1}{x}的零点。即\cfrac{b}{a}＝e$
2-1、若$\cfrac{\ln x+1}{x}\le ax+b$,对于$x\in (0,+\infty)$恒成立，其中$a\gt0，$则$\cfrac{b}{a}的最小值是 =(\qquad\qquad)$
2-2、若关于$x的不等式\ln x\le ax^2+bx-1(a\gt 0)$恒成立，则$\cfrac{b}{a}$ 的最小值$=(\qquad\qquad)$。
2-3、已知$y=kx+b是函数f(x)=\ln x+x 的切线，则2k+b的最小值为(\qquad \qquad )$
$2k+b就是切线上的一点(2,2k+b)的纵坐标。2k+b最小，就是切线上一点(2,2k+b)$的纵坐标最小，因为切线在曲线的左上方，故当且仅当这点为切点时，纵坐标最小。画图分析！
2-4、设函数$f(x)=(x+a)\ln (x+b)，若f(x)\ge 0，则a^2+b^2的最小值为(\qquad\qquad )$

例3、$f(x)=e^x-a\ln (ax-a)+a\quad(a\gt0)，f(x)\gt 0恒成立，求a$的范围。
$e^x-a\ln (ax-a)+a\gt0\Leftrightarrow \cfrac{e^x}{a} -\ln[ a(x-1)]+1\gt 0 \Rightarrow\cfrac{e^x}{e^{\ln a}} -\ln[ a(x-1)]+1\gt 0\Rightarrow$
$e^{x-\ln a}-\ln a\gt\ln (x-1)-1\Rightarrow e^{x-\ln a}+x-\ln a\gt x-1+\ln (x-1)$
$\Leftrightarrow e^{x-\ln a}+x-\ln a\gt e^{\ln(x-1)}+\ln (x-1)$
构造$g(x)=e^x+x\Rightarrow g(x-\ln a)\gt g(\ln (x-1))\Rightarrow x-\ln a\gt \ln (x-1)$
$\Rightarrow \ln a \lt x-\ln (x-1)\Rightarrow {\color{Red} \ln a\lt [x-\ln (x-1)]_{max}}$
设$h(x)=x-\ln (x-1)\quad {h}' (x)=1-\cfrac{1}{x-1} =\cfrac{x-2}{x-1}$
设$x\in (1,2,)\qquad h(x)\searrow ;(2,+\infty) \quad h(x)\nearrow \quad h(x)_{max}=h(2)=2-\ln (2-1)=2 $
$a\lt e^2$