极值点偏移与和三阶导数的一点探究
1、极值点左偏的情形：
如:$f(x)=\cfrac{x}{e^x} (x>0)$
一阶导数$g(x)={f}' (x)=\cfrac{1-x}{e^x} $
二阶导数$h(x)={f}'' (x)=\cfrac{x-2}{e^x}$
三阶导数${h}' (x)={f}^{(3)} =\cfrac{3-x}{e^x}$
若$f(x)是凸函数，且{f}' (x_0)=0, \quad {f}'' (x_0)<0,\quad {h}' (x_0)={f}^{(3)}(x_0) >0\Rightarrow$极值点左偏；左快右慢
若$f(x)是凹函数，且{f}' (x_0)=0, \quad {f}'' (x_0)>0,\quad {h}' (x_0)={f}^{(3)}(x_0) <0\Rightarrow$极值点左偏；左快右慢
若$f(x)是凸函数，且{f}' (x_0)=0, \quad {f}'' (x_0)<0\quad {h}' (x_0)={f}^{(3)}(x_0)<0\Rightarrow$极值点右偏；左慢右快
若$f(x)是凹函数，且{f}' (x_0)=0, \quad {f}'' (x_0)>0,\quad {h}' (x_0)={f}^{(3)}(x_0) >0\Rightarrow$极值点右偏；左慢右快
$(1)定极值点；x=x_0(2)构造对称函数；(3)比较大小，F(x)单调性$
极值点偏移命题过程：
本质：一阶导数变化不均匀$\Leftrightarrow$ 二阶导数不为定值$\Leftrightarrow$三阶导数不为0
常规问题：$x_1+x_2>2x_0或x_1x_2>x_0^2,f(\frac{x_1+x_2}{2} )>f(x_0)、{f}' (\frac{x_1+x_2}{2})>0={f}' (x_0)$
$函数：x-\ln x 问题：x_1+x_2>2$
若：$x\to \frac{1}{x}\quad 则题目变成：\frac{1}{x} +lnx\quad 问题：\frac{1}{x_1} +\frac{1}{x_2}>2或\frac{x_1+x_2}{x_1x_2} >2 \quad or \quad x_1+x_2>2x_1x_2$
函数：$x-\ln x 问题：x_1x_2<1$
若：$x\to xe^x\quad 则题目变成：xe^x -ln(xe^x)即xe^x-x-\ln x\quad 问题：x_1x_2e^{x_1}e^{x_2}<1$
例1、$2022年高考f(x)=\frac{e^x}{x}-\ln x+x-a$
$(1)若f(x)>0,求a$的取值范围;
$(2)证明:若f(x)有两个零点x_1,x_2则x_1x_2<1。$
$f(x)=e^{x-\ln x}+x-\ln x-a$
例2、 已知函数$f(x)=-x+(x+a)\ln x(a\in R)$有两个不同的极值点。[极值点偏移，一个经典方法，讲透一个经典例题_哔哩哔哩_bilibili]
$(1)求实数a的取值范围；$
$(2)当a=2时，已知函数f(x)的图像在A(x_1,f(x_1)),B(x_2,f(x_2))(x_1<x_2)$两个不同的点处的切线互相平行，证明：$x_1+x_2>4。$
解： $(1)x\in (0,+\infty)\quad {f}' (x)=\cfrac{a}{x} +\ln x$
由题意得 ${f}' (x)=0有两个不同实根\Leftrightarrow a=-x\ln x有2个$不同实根。
令$g(x)=-x\ln x,x\in (0,+\infty),{g}' (x)=-\ln x-1=-(\ln x+1)$

$令{g}' (x)=0，解得x=\frac{1}{e},x\in (0,\frac{1}{e} ),{g}' (x)\gt 0,g(x)单增;x\in (\frac{1}{e},+\infty ),{g}' (x)\lt 0,g(x)单减$
$g(x)\le g(\frac{1}{e} )=\frac{1}{e},\lim_{x \to 0} g(x)=0;\lim_{x \to \infty}g(x) =-\infty$

$\therefore a\in (0,\frac{1}{e})$

$(2)证明：当a=2时，{f}' (x)=\frac{a}{x} +\ln x=\frac{2}{x} +\ln x；令h(x)=\frac{2}{x} +\ln x $
$\because f(x)在A,B$两不同点处的切线互相平行，$\therefore {f}' (x_1)={f}' (x_2)\Leftrightarrow {\color{Red}h(x_1)=h(x_2) }$
${h}' (x)=\frac{x-2}{x^2},{\color{Red}h(x)在(0,2)单减 } ,在(2,+\infty)$单增,
由题意得$0<x_1<2<x_2,4-x_1>2\quad 构造F(x)=h(x)-h(4-x),x\in (0,2)$

${F}' (x)={h}'(x)-(4-x)^{'} {h}' (4-x)={h}'(x)+ {h}' (4-x)=\frac{x-2}{x^2} +\frac{4-x-2}{(4-x)^2} =\frac{(x-2)(4-x)^2-x^2(x-2)}{x^2(4-x)^2} $

${F}' (x)=\frac{(x-2)(16-8x)}{x^2(4-x)^2} =\frac{-8(x-2)^2}{x^2(4-x)^2}\lt 0 ,\therefore F(x)单调递减。$

$\therefore F(x)\gt F(2)=h(2)-h(2)=0,x\in (0,2)\Rightarrow h(x)-(4-x)\gt 0$

$\Rightarrow h(x)\gt h(4-x)\Rightarrow h(x_1)\gt h(4-x_1),x_1\in(0,2)$

$\because {\color{Red}h(x)在(2,+\infty)单增 } ,\Rightarrow h(x_1)=h(x_2)\gt h(4-x_1),x_2\gt 4-x_1\Rightarrow x_1+x_2\gt 4$

复合函数求导公式：${y}'_x= {y}'_u {u}'_x\Rightarrow u=4-x,{h}' (u)=\frac{u-2}{u^2} ,{u}'_x=-1$

极值点偏移题目答题步骤：

$x_1+x_2\gt 4\Leftrightarrow x_1\gt 4-x_2{\color{Red} \Leftrightarrow f(x_1)\gt f(4-x_2)} {\color{Green} \Leftrightarrow f(x_2)\gt f(4-x_2)}$

$\Leftrightarrow f(x_2)- f(4-x_2)\gt 0，构造函数,要指明定义域在极值点的那一边，g(x)=f(x)-f(4-x),x\gt 2$

求导证明$g(x)在x>2$时的极小值大于零，即完工。关键点是，$f(x_1)=f(x_2)$要替换！

解：当a=2时，${f}' (x)=\frac{a}{x} +\ln x=\frac{2}{x} +\ln x；令h(x)=\frac{2}{x} +\ln x $
$\because f(x)在A,B$两不同点处的切线互相平行，$\therefore {f}' (x_1)={f}' (x_2)\Leftrightarrow {\color{Red}h(x_1)=h(x_2) }$
${h}' (x)=\frac{x-2}{x^2},{\color{Red}h(x)在(0,2)单减 } ,在(2,+\infty)$单增,
由题意得$0<x_1<2<x_2,4-x_1>2\quad 可构造F(x)=h(x)-h(4-x),x\in (0,2)$

$0\lt x_1 \lt 2 \lt x_2,4-x_1\gt 2,4-x_2\lt 2也可构造F(x)=h(x)-h(4-x),x\gt 2$

${F}' (x)=\frac{(x-2)(16-8x)}{x^2(4-x)^2} =\frac{-8(x-2)^2}{x^2(4-x)^2}\lt 0 ,F(x)\searrow $

$F(x)_{max}\lt F(2)=0,h(x)-h(4-x)\lt 0\quad(x\gt 2)\Rightarrow h(x_2)\lt h(4-x_2)\Leftrightarrow h(x_1)\lt h(4-x_2)$

$h(x)在x\lt 2$单调递减$h(x_1)\lt h(4-x_2) \Leftrightarrow x_1\gt 4-x_2\Leftrightarrow x_1+x_2\gt 4$

若$F(x),x\lt 2,F(x)_{max}\gt F(2)=0,h(x)-h(4-x)\gt 0\Rightarrow h(x_1)\gt h(4-x_1)$

$\Leftrightarrow h(x_2)\gt h(4-x_1),h(x)在x\gt 2单调递增,h(x_2)\gt h(4-x_1)\Leftrightarrow x_1+x_2\gt 4$