例1、$ae^{x-1}-\ln x+\ln a\ge 1恒成立，求a$取值范围。同构
$ {\color{Green} e^{\ln a}} e^{x-1}+\ln a-1\ge ln x\Leftrightarrow e^{\ln a+x-1}+\ln a {\color{Green} +x} -1\ge ln x+{\color{Green} x}$
$\Leftrightarrow e^{\ln a+x-1}+(\ln a {\color{Green} +x} -1)\ge ln x+{\color{Green} e^{\ln x}}$
构造函数$f(x)=e^x+x,则有f(\ln a+x-1)\ge f(\ln x)$
$\Rightarrow \ln a+x-1\ge ln x\Rightarrow \ln a\ge ln x-x+1$
设$g(x)= ln x-x+1\quad \Leftrightarrow \ln a \ge g(x)_{max}\quad {g}' (x)=\cfrac{1}{x}-1=\cfrac{x-1}{x}$
$g(x)\le g(1)=0 $
$\ln a\ge 0\Rightarrow a\ge1$
例2、若关于$x的不等式\ln x\le ax^2-bx+1(a\ne 0)恒成立，则\cfrac{b}{a}$ 的最大值。
$\ln x\le ax^2-bx+1\Leftrightarrow \cfrac{\ln x}{x} \le ax-b+\cfrac{1}{x} \Leftrightarrow \cfrac{\ln x}{x} -\cfrac{1}{x}\le ax-b$
设$f(x)= \cfrac{\ln x}{x} -\cfrac{1}{x}\qquad g(x)= ax-b\Rightarrow g(x)\ge f(x)$
$\Leftrightarrow 直线在曲线f(x)$的左上方或相切。
${ f}' (x)=\cfrac{-\ln x}{x^2} $
${\color{Red} \cfrac{b}{a}} 是啥？ 令g(x)=ax-b=0\Rightarrow x=\cfrac{b}{a},$即是切线在$x$轴上的截距，也是切线$g(x)$的零点。
设切点为$(t,f(t)),切线斜率为k={f}'(t)=-\cfrac{\ln t}{t^2} ,切线方程为:y-f(t)=-\cfrac{\ln t}{t^2}(x-t)$
令$y=0,-\cfrac{\ln t -1}{t}= -\cfrac{\ln t}{t^2}(x-t)\Rightarrow t(\ln t -1)= \ln t(x-t)$
$\Rightarrow x=\cfrac{t(\ln t -1)}{\ln t} +t=2t-\cfrac{t}{\ln t}$
欲求${\color{Green} \cfrac{b}{a}的最大值就是 [2t-\cfrac{t}{\ln t}]_{max}}$
1、$f(x)=\cfrac{e^x}{x},{f}' (x)=\cfrac{(x-1)e^x}{x^2},符号函数x-1,x\lt 1,{f}' (x)\lt 0\Rightarrow f(x)\searrow;$
$x\gt1, {f}' (x)\gt 0, f(x)\nearrow ,\therefore {\color{Red} 先减后增，x=1处有极小值f(1)=e }$，有$e^x$有除就有1 又有e;
2、$f(x)=\cfrac{x}{e^x},与(1)是互为倒数$
${f}' (x)=\cfrac{1-x}{e^x} ,符号函数与上相反1-x;x\lt 1,f'(x)\gt 0,f(x)\nearrow ;x\gt 1,f'(x)\lt 0,f(x)\searrow$
${\color{Red} 先增后减,在x=1处有极大值f(1)=\cfrac{1}{e}}$。
总结：(1)(2)函数相互为倒数，(1) 是先减后增，(2)是先增后减；极值点位置不变均在 x=1处，极值互为倒数,(1)是极小(2)极大。
3、$g(x)=\cfrac{x}{\ln x},{g}' (x)=\cfrac{\ln x-1}{\ln^2x}; 0\lt x \lt e，{g}'(x)\lt 0, g(x)\searrow ;$
导数基础一
最值是定义域范围内全局的值，极值是定义域范围内的值。
极值由导函数的变号零点来判断，
导函数左高右低有极大值，左低右高有极小值。
https://one.free.nf/usr/uploads/2025/onefile/derivative02.pdf
6-2、讨论$f(x)=\cfrac{1}{2}x^2-x-\cfrac{ax}{e^x}$
${f}' (x)=x-1-\cfrac{a(e^x-x\cdot e^x)}{e^x\cdot e^x}=\cfrac{(x-1)(e^x+a)}{e^x} $
${\color{Red} 1)} 当{\color{Red} a\ge 0} 时 ,$
$e^x+a\ge 0 $恒成立，导函数的符号仅取决于$(x-1),且x-1是\nearrow $
故当 $\quad x\lt 1,{f}' (x)\lt 0,f(x) \searrow $
当 $\quad x\gt 1,{f}' (x)\gt 0,f(x) \nearrow $
${\color{Red} 2)} 当{\color{Red}a\lt 0 } 时,e^x+a $可正可负，此时导函数的符号由$(x-1)和e^x+a$的两个因式共同决定,我们判断两者正负时，要先判断$1与\ln (-a)$的谁大谁小。因而，还要继续分类讨论之
${\color{Green} ①} 当{\color{Green} a=-e} $时,$x-1与e^x+a$的零点均为1,且两者都是增函数；故有：
$\quad x\in R, {f}' (x)\ge 0,f(x) \nearrow$
${\color{Green} ②} 当 1\lt \ln(-a)\Rightarrow e\lt -a \Rightarrow a\lt -e,故{\color{Green} a\lt -e} $时：
当$\quad x\lt 1 $或$x\gt \ln(-a),{f}' (x)\gt 0,f(x) \nearrow $
当$ \quad 1\lt x \lt \ln(-a),{f}' (x)\lt 0,f(x) \searrow$
${\color{Green} ③} 当{\color{Green} -e\lt a \lt 0 } $时,$ \ln(-a)\lt 1$,故有：
当$x\lt \ln(-a) 或x\gt 1,{f}' (x)\gt 0,f(x) \nearrow $
当$ 1\lt x \lt \ln(-a),{f}' (x)\lt 0,f(x) \searrow $
总结：含参函数单调性讨论；求求导函数，通通分，因式分解；因式分解后，别焦急求因式的零点（根），要先析含参的因式有没有可能恒为正或负情形，先对它讨论，如第一步(1)的$a\ge 0$
第二步，求各因式的零点，要对含的零点与常数比较大小进行分类，如$(2)1与\ln (-a)$，并将各因式调整为 单增函数，从分好类的零点从小到大排列，用穿线法画好图像。题目的②③情形只是交换零点，并没有改变穿线方向。