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9-2题目$f(x)=\cfrac{1}{2} x^2-2x+a\ln x $
${f}' (x)=x-2+\cfrac{a}{x} \quad x\gt 0 \Rightarrow \cfrac{a}{x} =2-x\Rightarrow a=2x-x^2\Rightarrow 0\lt a\lt 1$
$x_1,x_2\gt 0,且x_1\ne x_2,则有:\sqrt{x_1x_2} \lt \cfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2} \lt\cfrac{x_1+x_2}{2} $
先证明左边的不等式：
$x_1,x_2\gt 0,且x_1\ne x_2,则有:\sqrt{x_1x_2} \lt \cfrac{x_1-x_2}{\ln x_1-\ln x_2} $
$不妨设x_1\gt x_2,\ln x_1-\ln x_2 \lt \cfrac{x_1-x_2}{\sqrt{x_1x_2} } = \cfrac{x_1}{\sqrt{x_1x_2} }-\cfrac{x_2}{\sqrt{x_1x_2} }=\sqrt{\cfrac{x_1}{x_2} } -\sqrt{\cfrac{x_2}{x_1} }$
原题目：https://one.free.nf/usr/uploads/2025/onefile/derivative02.pdf
单调性问题：
6-1、$f(x)=\cfrac{1}{2}x^2-\ln x\quad {f}'(x)=x-\cfrac{1}{x}=\cfrac{x^2-1}{x} 递减区间：(0,1] $
6-２、$f(x)=e^x\cos x\quad {f}'(x)=e^x(\cos x+\sin x )=\sqrt[]{2}e^x\sin (x+\cfrac{\pi}{4} ) 递增区间：[0,\cfrac{3\pi}{4} ]$
7、③④
8-1、$y=x^3+x^2+mx+1是Ｒ上单调函数，求m。\begin{cases} {y}'=3x^2+2x+m \\\bigtriangleup =4-12m\le 0\end{cases}{y}'=3x^2+2x+m $
8-2、$f(x)=\cfrac{1}{3} x^3- x^2+ax-5在[-1.2]上不单调，求a。求导，画图分析{f}'(x)=x^2-2x+a \begin{cases} {f}'(1)\lt 0 \\{f}'(-1) \gt 0\end{cases}$
8-3、画图分析，$x^3-x$右侧增，必须保证直线$(2a-1)x+3a-4$减。
9、求导参变分离.$f(x)=2x-\cfrac{2}{x}-a\ln x \quad{f}' =2+\cfrac{2}{x^2}-\cfrac{a}{x} \le 0 ,x\in (1,2)$
$2x+\cfrac{2}{x}\le a ,对勾函数$
10、$10、f(x)=\log_{a}{(x^3-ax)}在(-\cfrac{1}{2} ,0)单调增，\begin{cases}\qquad a\gt1 \\3x^2-a\ge0\end{cases}\quad$或$\begin{cases}0\lt a\lt1 \\3x^2-a\le0\end{cases}\quad $
11-1、$f(x)=e^x(\cos x-a)\quad {f}' (x)=e^x(\cos x-a -\sin x)\Rightarrow a\ge \cos x-\sin x\Rightarrow$
$-\cfrac{a}{\sqrt[]{2} } \ge \sin(x-\cfrac{\pi}{4} )$
11-2、$f(x)=e^x(\sin x+a\cos x)\nearrow ,{f}' (x)\le 0\Rightarrow a\le \cfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x},$
$\sin x与\cos x相当于两个变量，没法求最值，利用倍角公式，\cfrac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}=\sqrt{\cfrac{1+\sin 2x}{1-\sin 2x} } $
1-1、已知函数$(2)f(x)=e^x-ax-a^3$
$(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；$
$(2)若f(x)有极小值，且极小值小于０，求的取值范围$
(2)
${f}' (x)=e^x-a$
${\color{Red} 1^\circ } 若a\le 0,{f}' (x)\gt 0,f(x)\nearrow 无极值。\quad$
${\color{Red} 2^\circ } 若a\gt 0$
$\qquad {\color{Green} ①} 令{f}' (x)\lt 0,x\lt \ln a,f(x)\searrow ;$
$\qquad {\color{Green} ②} 令{f}' (x)\gt 0,x\gt \ln a,f(x)\nearrow ;$
$f(x)在x=\ln a处有极小值，f(\ln a)=a-a\ln a-a^3=-a(a^2+ln a-1)\lt 0$
$令g(a)=a^2+\ln a-1,{g}' (a)=2a+\cfrac{1}{a},g(a)\nearrow 且g(1)=0,a\gt 1,f(\ln a)\lt 0$
1、C,
2-1、$-\cfrac{1}{2e},f(x)=\cfrac{1}{2} x^2\ln x^2\Rightarrow \begin{cases} g(x)=x\ln x\\f(x)=\cfrac{1}{2} g(x^2)\end{cases}$
2-2、1;
$\begin{cases} x\gt \cfrac{1}{2}\\f(x)=2x-1-2\ln x \quad\end{cases}$
$\begin{cases} x\lt \cfrac{1}{2}\\f(x)=1-2x-2\ln x \end{cases}$
3-1、$f(3)\gt f(1)$
3-2 $f(x)=\cos x+(x+1)\sin x+1 在[0,2\pi]的最小值和最大值，-\cfrac{3\pi}{2} ,\cfrac{\pi}{2} +2$
4-1 $f(x)=-\cfrac{1}{2} ax^2+2x+\ln x,当a\gt 0时，$
${f}' (x)=-ax+2+\cfrac{1}{x} =\cfrac{-ax^2+2x+1}{x} ;\bigtriangleup =4+4a;x=\cfrac{1\pm\sqrt{1+a} }{a} $
$(0,\cfrac{1+\sqrt{1+a} }{a}),{f}' (x)\lt 0,f(x)\searrow ; $
$(\cfrac{1+\sqrt{1+a} }{a},+\infty),{f}' (x)\gt 0,f(x)\nearrow ; $仅有最小值
4-2、$f(x)=\cfrac{1}{2} x^2+a\cos x,当a\gt 1,f(x)在，(0,\pi)$
${f}' (x)=x-a\sin x,在(0,\pi)$先负后正,有最小值